Question

已知雙曲線C的中心在原點且經過點D（2，0），

m1

=（2，1），

m2

=（2，-1）分別是兩條漸近線的方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）橢圓

x2

4

+y²=1的左頂點為A，經過B（-

6

5

，0）的直線?與橢圓交于M，N兩點，試判斷

AM

•

AN

是否為定值，并證明你的結論．
（3）雙曲線C或拋物線y²=2px（p＞0）是否也有類似（2）的結論？若是，請選擇一個曲線寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,類比推理,雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出a，b，即可得到雙曲線C的方程；
（2）判斷

AM

•

AN

是否為定值，通過直線?的斜率不存在時，直接判斷求解．直線?的斜率存在時，設出直線方程與雙曲線方程聯立，通過韋達定理以及向量的數量積化簡整理即可．
（3）雙曲線C或拋物線y²=2px（p＞0）也有類似（2）的結論，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．

解答： 解：（1）兩條漸近線的方程為y=±

1

2

x，依題意a=2，所以b=1．故雙曲線C的方程為：

x2

4

-y2=1．…3′
（2）

AM

•

AN

為定值0，理由如下：當直線?的斜率不存在時，?的方程為x=-

6

5

，求得M(-

6

5

，

4

5

)，N(-

6

5

，-

4

5

)，此時

AM

•

AN

=(

4

5

，

4

5

)•(

4

5

，-

4

5

)=0；…4′
當直線?的斜率存在時，設直線?的方程為：y=k(x+

6

5

)，
聯立

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

得（100k²+25）x²+240k²x+144k²-100=0，
顯然△＞0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x1+x2=- 240k2 100k2+25 x1•x2= 144k2-100 100k2+25

，…6′，
y1•y2=k2(x1+

6

5

)(x2+

6

5

)=k2[x1•x2+

6

5

(x1+x2)+

36

25

]=-

64k2

100k2+25

，
所以

AM

•

AN

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(x1+2)•(x2+2)+y1•y2=x1•x2+2(x1+x2)+4+y1•y2…9′
=

144k2-100

100k2+25

+2(-

240k2

100k2+25

)+4+

-64k2

100k2+25

=0，
綜上所述，

AM

•

AN

為定值0．…10′
（3）雙曲線C：

x2

4

-y2=1的左頂點為A，經過B(-

10

3

，0)的直線?與雙曲線C交于M，N兩點，
則

AM

•

AN

為定值0．
說明：①必須指出B點坐標，但可以不說具體定值．
②對雙曲線C而言，與右頂點相關的點為B(

10

3

，0)．
③拋物線y²=2px（p＞0）也有類似結論：拋物線y²=2px（p＞0）的頂點為O，經過點B（2p，0）的直線?與拋物線y²=2px（p＞0）交于M，N兩點，則

AM

•

AN

為定值0．…13′

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，雙曲線方程的求法，類比推理的應用，綜合性比較強．