【題目】如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量和的坐標(biāo)，通過可證明出；

（2）分別求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

（1），，

，

.

，，

因此，無論取何值，；

（2）當(dāng)時(shí)，，，，

而平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，

則，解得，則，

設(shè)為平面與平面所成的銳二面角，則.

因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級(jí)過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.

其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)160元，二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元，二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.

表1：一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表

一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)

8

9

頻數(shù)

60

40

圖2：二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖

以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直角梯形ABCD中，，，，將直角梯形ABCD（及其內(nèi)部）以AB所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，形成如圖所示的幾何體，其中M為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求異面直線BM與EF所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得；若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知圓，圓．

（1）證明：圓與圓有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與（1）中軌跡相交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，是否存在實(shí)數(shù)使得為定值？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三個(gè)幾何體組合的正視圖和側(cè)視圖均為如下圖所示，則下列圖中能作為俯視圖的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積；

（2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

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