設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足5an,5bn,5an+1成等比數(shù)列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差數(shù)列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通項(xiàng)an、bn.
分析:由等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a
n+1=
遞推出a
n=
(n≥2).
解答:解:∵5
an,5
bn,5
an+1成等比數(shù)列,
∴(5
an)
2=5
bn•5
an+1,即2b
n=a
n+a
n+1.①
又∵lgb
n,lga
n+1,lgb
n+1成等差數(shù)列,
∴2lga
n+1=lgb
n+lgb
n+1,即a
n+12=b
n•b
n+1.②
由②及a
i>0,b
j>0(i、j∈N
*)可得
a
n+1=
.③
∴a
n=
(n≥2).④
將③④代入①可得2b
n=
+
(n≥2),
∴2
=
+
(n≥2).
∴數(shù)列{
}為等差數(shù)列.
∵b
1=2,a
2=3,a
22=b
1•b
2,∴b
2=
.
∴
=
+(n-1)(
-
)
=
(n+1)(n=1也成立).
∴b
n=
.
∴a
n=
=
=
(n≥2).
又當(dāng)n=1時(shí),a
1=1也成立.
∴a
n=
.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題呢.解題過(guò)程中注意由Sn求an時(shí)要注意驗(yàn)證a1與S1是否一致.