【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架(如圖),上面為花籃,支架由三根細(xì)鋼管組成,考慮到鋼管的受力和花籃質(zhì)量等因素,設(shè)計支架應(yīng)滿足:①三根細(xì)鋼管長均為1米(粗細(xì)忽略不計),且與地面所成的角均為;②架面與架底平行,且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形;③三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點分三根細(xì)鋼管上、下兩段之比均為.定義:架面與架底的距離為支架高度,架底三角形的面積與支架高度的乘積為支架需要空間”.

1)當(dāng)時,求支架高度;

2)求支架需要空間的最大值.

【答案】1.2立方米.

【解析】

1)根據(jù)題意與地面所成的角為米,從而.

2)過平面,垂足為,且,表示出,進(jìn)而,,令,利用導(dǎo)數(shù)即可求解.

解:(1)因為架面與架底平行,且與地面所成的角為米,

所以支架高度(米).

2)過平面,垂足為.

平面,所以

與地面所成的角為,所以,

同理,

所以為等邊三角形外心,也為其重心,

所以

,

支架需要空間,則.

,則.

所以,.

則當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時,(立方米).

答:(1)當(dāng)時,支架高度米;

2支架需要空間的最大值為立方米.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,,二面角S-BD-C的余弦值為

I)證明:平面平面SBD;

(Ⅱ)求二面角A-SD-C的余弦值.

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1)求證:平面MBD⊥平面SCD;

2)若∠SDC120°,求三棱錐CMBD的體積.

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【題目】已知直線,半徑為2的圓相切,圓心軸上且在直線的右上方.

1)求圓的方程;

2)過點的直線與圓交于兩點(軸上方),問在軸正半軸上是否存在定點,使得軸平分?若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】在四棱錐P-ABCD,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,平面平面,于點O,點E在棱PB上,.

1)當(dāng)時,求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;

2)若二面角B-PC-D的余弦值為,求PO的長.

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【題目】如果對某對象連續(xù)實施兩次變換后的結(jié)果就是變換前的對象,那么我們稱這種變換為回歸變換.如:對任意一個實數(shù),變換:取其相反數(shù).因為相反數(shù)的相反數(shù)是它本身,所以變換取實數(shù)的相反數(shù)是一種回歸變換.有下列3種變換:

①對,變換:求集合A的補集;

②對任意,變換:求z的共軛復(fù)數(shù);

③對任意,變換:k,b均為非零實數(shù)).

其中是回歸變換的是______.

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【題目】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.

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【題目】如圖,在四棱錐中,已知四邊形是邊長為的正方形,點在底面上的射影為底面的中心點,點在棱上,且的面積為1.

1)若點的中點,求證:平面平面;

2)在棱上是否存在一點使得二面角的余弦值為?若存在,求出點的位置;若不存在,說明理由.

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【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操,主要是通過按摩眼部穴位,調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán),調(diào)節(jié)肌肉,改善眼的疲勞,達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果,在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查,并得到如圖的頻率分布直方圖.

1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù);

2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系,對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查,得到下表中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系?

3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人,進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,在這8人中任取2人,記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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