Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x），若在定義域內(nèi)存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數(shù)f（x）的局部對稱點．
（1）若a∈R，a≠0，證明：函數(shù)f（x）=ax2+x﹣a必有局部對稱點；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=ax2+x﹣a，∴f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，

令f（﹣x）=﹣f（x）得ax2﹣x﹣a=﹣ax2﹣x+a，化簡得ax2﹣a=0（a≠0），

∵△=4a2＞0恒成立，

∴方程f（﹣x）=﹣f（x）必定有解，即函數(shù)f（x）=ax2+x﹣a必有局部對稱點．

（2）解：f（x）=2x+b，f（﹣x）=2﹣x+b，

令f（﹣x）=﹣f（x）得2x+2﹣x=﹣2b，即b=﹣ （2x+2﹣x），

令2x=t，g（t）=﹣ （t+ ），∵x∈[﹣1，1]，∴ ，

∴g′（t）=﹣ + ，令g′（t）=0得t=1或t=﹣1（舍）．

當 ≤t＜1時，g′（t）＞0，當1＜t≤2時，g′（t）＜0，

∴g（t）在[ ，1]上單調(diào)遞增，在（1，2]單調(diào)遞減，

∵g（ ）=﹣ ，g（1）=﹣1，g（2）=﹣ ，

∴g（t）的最大值為﹣1，g（t）的最小值為﹣ ．

∴b的取值范圍是 ．

（3）解：f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3，f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，

令f（﹣x）=﹣f（x）得4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0（*），

∵f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，

∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解．

令2x+2﹣x=t，則t∈[2，+∞），4x+4﹣x=t2﹣2，

∴關(guān)于t的方程t2﹣2mt+2m2﹣8=0在t∈[2，+∞）上有解，

令h（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，則h（2）=2m2﹣4m﹣4≤0或 ．

解得： 或 ，即1﹣ ≤m≤2 ．

∴m的取值范圍是[1﹣ ，2 ]．

【解析】（1）令f（﹣x）=﹣f（x）得出關(guān)于x的方程，根據(jù)判別式證明方程有解即可；（2）令f（﹣x）=﹣f（x）得出關(guān)于x的方程，令t=2x得出b關(guān)于t的函數(shù)g（t），求出函數(shù)g（t）在[ ，2]上的值域即可；（3）令f（﹣x）=﹣f（x）得出關(guān)于x的方程，令2x+2﹣x=t得出關(guān)于t的一元二次方程在[2，+∞）上有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)不等式方程組求出m的范圍．