Question

已知點(diǎn)P（x，y）為雙曲線（b為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)P₁作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長(zhǎng)交y軸于P₂。

（1） 求線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2） 設(shè)軌跡E與x軸交于B、D兩點(diǎn)，在E上任取一點(diǎn)Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N 兩點(diǎn)，求證：以MN為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)。

Answer 1

解：（1）由已知得，
則直線的方程為：，
令得，
即，
設(shè)，則，
即代入得：，
即P的軌跡E的方程為。
（2）在中令得，則不妨設(shè)，
于是直線QB的方程為：，
直線QD的方程為：，
則，
則以為直徑的圓的方程為：，
令得，
而在上，
則，
于是，
即以MN為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)。