14.已知函數(shù)f(x)=x2-cosx,對于$[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$上的任意x1,x2,有如下條件:
①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2;④x1+x2<0;⑤x1>|x2|.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是②.

分析 函數(shù)f(x)=x2-cosx為偶函數(shù),f′(x)=2x+sinx,從面臨是到函數(shù)f(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上為單調(diào)增函數(shù),在[-$\frac{π}{2}$,0]上為減函數(shù).由此能求出結(jié)果.

解答 解:函數(shù)f(x)=x2-cosx為偶函數(shù),f′(x)=2x+sinx,
當(dāng)0<x≤$\frac{π}{2}$時(shí),0<sinx≤1,0<2x≤π,
∴f′(x)>0,函數(shù)f(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上為單調(diào)增函數(shù),
由偶函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在[-$\frac{π}{2}$,0]上為減函數(shù).
當(dāng)x12>x22時(shí),得|x1|>|x2|≥0,
∴f(|x1|)>f(|x2|),
由函數(shù)f(x)在上[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]為偶函數(shù)得f(x1)>f(x2),故②成立;
∵$\frac{π}{3}$>-$\frac{π}{3}$,而f($\frac{π}{3}$)=f(-$\frac{π}{3}$),
∴①不成立,同理可知③和⑤均不成立;
∵取x1=-$\frac{π}{3}$,x2=-$\frac{π}{2}$,滿足x1+x2<0,但f(x1)<f(x2),故④不成立.
故能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號②.
故答案為:②.

點(diǎn)評 本題考查能使不等式恒成立的條件的判斷,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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