Question

10．對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)$α=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i，β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，有下列四個(gè)結(jié)論：
①αβ=1；
②$\frac{α}{β}=1$；
③$|{\frac{α}{β}}|=1$；
④α²+β²=1
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由于$α=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i，β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
對(duì)于①，可求得αβ=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i≠1，可判斷①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，可求得$\frac{α}{β}=-1$，可判斷②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，可求得$|{\frac{α}{β}}|=1$，可判斷③正確；
對(duì)于④，可求得α²+β²=-1+$\sqrt{3}$i≠1，可判斷④錯(cuò)誤．

解答 解：$α=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i，β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
對(duì)于①，αβ=-（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i≠1，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，$\frac{α}{β}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}ii}$=-1≠1，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，$|\frac{α}{β}|$=$\frac{|α|}{|β|}$=$\frac{\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}}{\sqrt{{（-\frac{1}{2}）}^{2}{+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}}$=1，故③正確；
對(duì)于④，α²+β²=（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$\frac{3}{4}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$\frac{3}{4}$）=-1+$\sqrt{3}$i≠1，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查復(fù)數(shù)的乘法、除法、乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)求模，屬于中檔題．