Question

3．排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，要求：
（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？
（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

Answer 1

分析 （1）4個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開(kāi)，可以用插空法來(lái)解，即先把5個(gè)歌唱節(jié)目排列，形成6個(gè)位置，選4個(gè)把舞蹈節(jié)目排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，要求歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列，先把5個(gè)歌唱節(jié)目排列，不包含兩端形成4個(gè)位置，把4個(gè)把舞蹈節(jié)目插入．由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、將5個(gè)歌唱節(jié)目全排列，有A₅⁵種排列方法，排好后有6個(gè)空位，
②、在6個(gè)空位中，任選4個(gè)，安排4個(gè)舞蹈節(jié)目，有A₆⁴種排列方法，
則一共有$A_5^5A_6^4=43200$種不同的安排方法；
（2）根據(jù)題意，要求歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列，
分2步進(jìn)行分析：
①、先把5個(gè)歌唱節(jié)目排好，有A₅⁵種排列方法，排好后除去兩端有4個(gè)空位，
②、在4個(gè)可選的空位中，安排4個(gè)舞蹈節(jié)目，有A₄⁴種排列方法，
則一共有$A_5^5A_4^4=2880$種不同的安排方法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的應(yīng)用，均涉及不相鄰問(wèn)題，注意不相鄰問(wèn)題宜采用插空．