Question

8．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=$\frac{1}{5}$，sinαsinβ=$\frac{2}{5}$，則tan（β-α）的值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和與差的余弦公式求得cos（β-α），再利用同角三角函數的基本關系求得sin（β-α）的值，可得tan（β-α）=$\frac{sin（β-α）}{cos（β-α）}$的值．

解答 解：∵0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=$\frac{1}{5}$，sinαsinβ=$\frac{2}{5}$，∴cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}$，
∴sin（β-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-α）}$=$\frac{4}{5}$，
則tan（β-α）=$\frac{sin（β-α）}{cos（β-α）}$=$\frac{4}{3}$，
故答案：$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角與差的余弦公式，屬于中等題．