Question

【題目】設集合A是實數集R的子集，如果x0∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，則稱x0為集合A的聚點，給出下列集合（其中e為自然對數的底）：①{1+ |x＞0}；②{2x|x∈N}；③{x2+x+2|x∈R}；④{lnx|x＞0且x≠e}，其中，以1為聚點的集合有（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①{1+ |x＞0}中的元素構成以1為極限的數列，故對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a成立，符合題意；
②{2x|x∈N}，y=2x是單調增函數，對任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，不符合題意；
③{x2+x+2|x∈R}，∵x2+x+2≥ ，對任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，不符合題意；
④{lnx|x＞0且x≠e}，lnx≠1，滿足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，故此集合以1為聚點符合題意，
故選：D．
【考點精析】通過靈活運用子集與真子集，掌握任何一個集合是它本身的子集；n個元素的子集有2n個,n個元素的真子集有2n －1個,n個元素的非空真子集有2n－2個即可以解答此題．