Question

（2013•江門二模）已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點(diǎn)F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過點(diǎn)M（4，0）．
（1）寫出拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點(diǎn)，求橢圓C₁C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的p與焦點(diǎn)的關(guān)系即可得到

p

2

=1即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)p（m，n），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得OP中點(diǎn)為(

m

2

，

n

2

)．由于O、P兩點(diǎn)關(guān)于直線y=k（x-4）對(duì)稱，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

，即可解出m，n，代人拋物線的方程可得k的值，再把直線l的方程y=k（x-4）與橢圓的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，由于有公共點(diǎn)，可得△≥0，即可得到a的取值范圍，進(jìn)而得到橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值．

解答：解：（1）由題意，拋物線C₂的焦點(diǎn)F（1，0），則

p

2

=1，的p=2．
所以方程為：y²=4x．
（2）設(shè)p（m，n），
則OP中點(diǎn)為(

m

2

，

n

2

)，
因?yàn)镺、P兩點(diǎn)關(guān)于直線
y=k（x-4）對(duì)稱，
所以

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

即

km-n=8k m+nk=0

，解之得

m= 8k2 1+k2 n= -8k 1+k2

，
將其代入拋物線方程，得：(-

8k

1+k2

)2=4×

8k2

1+k2

，所以k²=1
聯(lián)立 

y=k(x-4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y，得：（b²+a²）x²-8a²x+16a²-a²b²=0，
由直線l與橢圓有公共點(diǎn)，∴△=（-8a²）²-4（b²+a²）（16a²-a²b²）≥0，得a²+b²≥16，
注意到b²=a²-1，即2a²≥17，解得2a≥

34

，
因此，橢圓C₁長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為

34

．

點(diǎn)評(píng)：題綜合考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、軸對(duì)稱等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．