Question

10．函數(shù)y=asinx-bcosx滿足f（$\frac{2π}{3}$-x）=f（x），那么$\frac{a}$=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -1

Answer 1

分析 由已知化簡可得y=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x-φ），其中，tanφ=$\frac{a}$，結(jié)合f（$\frac{2π}{3}$-x）=f（x），可求sin（$\frac{π}{3}$+x+φ）=sin（x-φ），解得φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，利用兩角差的正切函數(shù)公式可得tanφ=$\frac{a}$=tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而可求$\frac{a}$的值．

解答 解：∵y=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x-φ），其中，tanφ=$\frac{a}$，
∵f（$\frac{2π}{3}$-x）=f（x），
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（$\frac{2π}{3}$-x-φ）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x-φ），可得：sin（$\frac{π}{3}$+x+φ）=sin（x-φ），
∴$\frac{π}{3}$+x+φ=x-φ+2kπ，k∈Z，
∴解得：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵tanφ=$\frac{a}$=tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴解得：$\frac{a}$=-$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．