(05年遼寧卷)(12分)

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),且.設(shè),是曲線在點處的切線方程,并設(shè)函數(shù)

         (Ⅰ)用、、表示m;

         (Ⅱ)證明:當,;

(Ⅲ)若關(guān)于x的不等式上恒成立,其中a、b為實數(shù),求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.

解析:(Ⅰ)                                               ……2分

   (Ⅱ)證明:令

        因為遞減,所以遞增,因此,當;當.

所以唯一的極值點,且是極小值點,可知的最小值為0,因此            ……6分

 

   (Ⅲ)解法一:是不等式成立的必要條件,以下討論設(shè)此條件成立.

        對任意成立的充要條件是

       

       另一方面,由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件,利用(II)的結(jié)果可知,的充要條件是:過點(0,)與曲線相切的直線的斜率大于,該切線的方程為

       于是的充要條件是                             ……10分

       綜上,不等式對任意成立的充要條件是

                                                  ①

       顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.  ……12分

 

(Ⅲ)解法二:是不等式成立的必要條件,以下討論設(shè)此條件成立.

   對任意成立的充要條件是

                                            ……8分

       令,于是對任意成立的充要條件是

        由

       當時,,所以,當時,取最小值.因此成立的充要條件是,即                ………10分

       綜上,不等式對任意成立的充要條件是

                                ①

       顯然,存在a、b使①式成立的充要條件是:不等式

                         ②

       有解、解不等式②得

       因此,③式即為b的取值范圍,①式即為實數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系. ……12分

 

 

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(2)對(1)中,不等式對任意的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的范圍;

(3)設(shè),若數(shù)列的反數(shù)列為的公共項組成的數(shù)列為;求數(shù)列項和

 

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,

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   (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

   (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前n項和Tn.

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