【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求曲線在點
處的切線的斜率;
(Ⅱ)判斷方程(
為
的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間
內(nèi)的根的個數(shù),說明理由;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點,求
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.
(Ⅱ)設(shè),
.
由的單調(diào)性及因為
,
,可知有且只有一個
,使
成立.即方程
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點,由于
,即
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
,且
在
兩側(cè)異號.
由的單調(diào)性可知函數(shù)
在
處取得極大值
.
當(dāng)時,雖然函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
,但
在
兩側(cè)同號,不滿足
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點的要求.
若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
,且
在
兩側(cè)異號,
則只需滿足: .即可得到
的取值范圍
試題解析:
(Ⅰ).
.
(Ⅱ)設(shè),
.
當(dāng)時,
,則函數(shù)
為減函數(shù).
又因為,
,
所以有且只有一個,使
成立.
所以函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點,即方程
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點,由于
,即
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
,且
在
兩側(cè)異號.
因為當(dāng)時,函數(shù)
為減函數(shù),所以在
上,
,即
成立,函數(shù)
為增函數(shù);
在上,
,即
成立,函數(shù)
為減函數(shù).
則函數(shù)在
處取得極大值
.
當(dāng)時,雖然函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
,但
在
兩側(cè)同號,不滿足
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個極值點的要求.
由于
,顯然
.
若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點
,且
在
兩側(cè)異號,
則只需滿足:
.即
,解得
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面
是菱形,
與
交于點
,
底面
,點
為
中點,
.
(1)求直線與
所成角的余弦值;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們可以用隨機模擬的方法估計的值,如圖程序框圖表示其基本步驟(函數(shù)
是產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù),它能隨機產(chǎn)生
內(nèi)的任何一個實數(shù)).若輸出的結(jié)果為
,則由此可估計
的近似值為( )
A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機將1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組,每組n個數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;B組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2,記ξ=a2-a1,η=b2-b1.
(1)當(dāng)n=3時,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”,求事件C發(fā)生的概率P(C);
(3)對(2)中的事件C, 表示C的對立事件,判斷P(C)和P(
)的大小關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于任意都有
成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)若過點可作函數(shù)
圖象的三條不同切線,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
,將曲線
向左平移
個單位長度得到曲線
.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)已知為曲線
上的動點,
兩點的極坐標(biāo)分別為
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)時,
;
(Ⅲ)若關(guān)于的不等式
恒成立,求整數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以點A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過點B(-2,0)的動直線l與圓A相交于M,N兩點,Q是MN的中點.
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)|MN|=2時,求直線l的方程.
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