Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+Φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜Φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[

π

12

，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．
（3）當(dāng)x取何值是能使f（x）取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可求得A=2，T=

2π

ω

=π，ω=2，再由

2π

3

×2+Φ=

3π

2

+2kπ，k∈Z，0＜Φ＜

π

2

，可求得Φ于是可求得f（x）的解析式；
（2）x∈[

π

12

，

π

2

]⇒（2x+

π

6

）∈[

π

3

，

7π

6

]⇒2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，于是可求f（x）在閉區(qū)間[

π

12

，

π

2

]上的值域；
（3）利用正弦函數(shù)的最值，由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即可求得x取何值是能使f（x）取得最大值．

解答： 解：（1）由題意得，A=2，

T

2

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+Φ），又

2π

3

×2+Φ=

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴Φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，0＜Φ＜

π

2

，
∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）由x∈[

π

12

，

π

2

]得，（2x+

π

6

）∈[

π

3

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域?yàn)閇-1，2]；
（3）當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．