Question

13．已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧$\widehat{AC}$上的點（不與點A、C重合），延長AD交BC的延長線于F．
（Ⅰ）求證：∠CDF=∠ADB；
（Ⅱ）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)A，B，C，D 四點共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因為AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根據(jù)割線定理即可得到結論．

解答 證明：（I）∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC．
∵A，B，C，D四點共圓，則∠CDF=∠ABC，
∴∠CDF=∠ACB，
又∠ACB=∠ADB，
∴∠CDF=∠ADB．
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，
∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB．
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，∴AB²=AD•AF．
∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，
根據(jù)割線定理DF•AF=FC•FB，
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

點評 本題考查了圓的性質、相似三角形的性質、割線定理、等腰三角形的性質、四點共圓的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．