Question

7．在直角坐標系xOy，以O(shè)為極點，x軸的正半軸建立直角坐標系，直線l的極坐標方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}（m+1）$，而曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（其中φ為參數(shù)）；
（1）若直線l與曲線C恰好有一個公共點，求實數(shù)m的值；
（2）當m=-$\frac{3}{4}$，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}（m+1）$，展開化為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$（m+1），利用互化公式可得直角坐標方程．而曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（其中φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)可得普通方程．利用點到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件即可得出．
（2）m=-$\frac{3}{4}$時，圓心到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用弦長公式可得：直線l被曲線C截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-h7zvzvd^{2}}$．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}（m+1）$，展開化為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$（m+1），即x+y-4（m+1）=0．
而曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（其中φ為參數(shù)），消去參數(shù)可得：x²+y²=2．
∵直線l與曲線C恰好有一個公共點，∴$\frac{4|m+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴m+1=$±\frac{1}{2}$，解得m=$-\frac{1}{2}$，或$-\frac{3}{2}$．
（2）m=-$\frac{3}{4}$時，圓心到直線l的距離d=$\frac{4|m+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線l被曲線C截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-djvz5x3^{2}}$=2$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標與直角坐標的互化、直線與圓相交弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．