Question

已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1）和互不相同的點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中a_n、b_n分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，若P₁是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，當(dāng)d與q滿足條件

 

時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共線．

Answer 1

分析：設(shè)數(shù)列a_n的公差為d，b_n的公比為q，因?yàn)镻₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的點(diǎn)，可得d=0，q=1不會(huì)同時(shí)成立．當(dāng)d=0時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 x=

1

2

上．當(dāng)q=1時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 y=

1

2

上．關(guān)鍵是當(dāng)d≠0，q≠1時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，不會(huì)在同一條直線上，只要驗(yàn)證P₁，P₂，P₃，不共線即可，

解答：解：設(shè)數(shù)列a_n的公差為d，b_n的公比為q，因?yàn)镻₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的點(diǎn)，
所以，d=0，q=1不會(huì)同時(shí)成立．
當(dāng)d=0時(shí)，an=a1=

1

2

（n∈N^*），
此時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 x=

1

2

上．
當(dāng)q=1時(shí)，bn=b1=

1

2

，此時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直線 y=

1

2

上．
當(dāng)d≠0，q≠1時(shí)，點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，不會(huì)在同一條直線上，
因?yàn)?P1(

1

2

，

1

2

)，P2(

1

2

+d，

1

2

q)，P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以，kP1P2=

q-1

2d

，kP2P3=

q(q-1)

2d

，
因?yàn)閝≠1，
所以，kP1P2≠kP2P3，
點(diǎn)P₁，P₂，P₃不會(huì)同一條直線上，即點(diǎn)P₁，P₂，P₃，，P_n，不會(huì)在同一條直線上．
故答案為：

d=0 q≠1

或

d≠0 q=1

另一種描述：d=0或q=1且d=0與q=1不同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查知識(shí)間的滲透問題，由向量形式和坐標(biāo)形式的轉(zhuǎn)化，曲線與方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)是一個(gè)數(shù)列用數(shù)列知識(shí)研究其關(guān)系．