Question

15．函數(shù)f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x-log₂（a²-1）不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （1，4]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式可得導(dǎo)函數(shù)解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)，分別討論a=0和a≠0時(shí)，a的取值，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答 解：∵f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x-log₂（a²-1），可得a²-1＞0，解得a＜-1或a＞1，
∴f′（x）=3ax²-4ax+（a+1），
△=16a²-12a（a+1）≤0時(shí)，
即1＜a≤3時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件
綜上，函數(shù)f（x）=ax³-2ax²+（a+1）x不存在極值點(diǎn)的充要條件是1＜a≤3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，其中a²-1＞0這種情況易被忽略．