Question

【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中點(diǎn),試在棱CC1上求一點(diǎn)P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,P(0,1,a),則A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

設(shè)平面A1B1P的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1), 設(shè)平面C1DE的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),

求出n1，n2，利用n1·n2=0，即可求出a，從而確定P點(diǎn)位置.

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,P(0,1,a),則A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).

設(shè)平面A1B1P的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則

令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).

設(shè)平面C1DE的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則

令y2=1,得x2=-2,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1).

∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=，故P.