Question

已知α，β∈R且αβ≠0，數(shù)列{x_n}滿足x₁=α+β，，x_n+2=（α+β）x_n+1-αβ•x_n（n≥1，n∈N），令b_n=x_n+1-αx_n．
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{x_n}的通項公式；（不能直接使用競賽書上的結論，要有推導過程）
（3）若，求{x_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）因為b_n=x_n+1-αx_n．
所以b₁=x₂-αx₁=α²+αβ+β²-α（α+β）=β²．
=β．所以{b_n}是等比數(shù)列；
（2）①當α≠β時，∴x_n-αx_n-1=β（x_n-1-αx_n-2），x_n-βx_n-1=α（x_n-1-βx_n-2），
由等比數(shù)列性質(zhì)可得，
x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2=βⁿ，
x_n-βx_n-1=（x₂-βx₁）α^n-2=αⁿ，
聯(lián)立解得：x_n=，
②當α=β時，由①可得，x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2，
∵α=β，x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）α^n-2=αⁿ，即x_n=αx_n-1+αⁿ，
等式兩邊同除以αⁿ，得：
即，
數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，，

綜上所述，…（10分）
（3）因為，由（2）可得
S_n=+，
令P=，…①
=…②，
①-②得，==．
∴S_n=…（14分）
分析：（1）利用已知條件，推出是常數(shù)，即可證明{b_n}是等比數(shù)列；
（2）通過α≠β與α=β，分別求出數(shù)列{x_n}的通項公式；（不能直接使用競賽書上的結論，要有推導過程）
（3）利用（2）的結論，通過，寫出{x_n}的通項公式，利用錯位相減法求出前n項和S_n．
點評：本題考查數(shù)列的判定，數(shù)列通項公式與前n項和的求法，考查分類討論思想，計算能力．