分析 (I)直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出m值;
(II)首先對y求導(dǎo)y'=f'(x)-g'(x)=$\frac{{x}^{2}+[2-m(1-n)]x+1}{x(x+1)^{2}}$,因?yàn)閥=f(x)-g(x)在定義域內(nèi)不單調(diào),所以h(x)=x2+[2-m(1-n)]x+1 在(0,+∞)內(nèi)有至少一個實(shí)根且曲線與x不相切.
(III)當(dāng)x=1時,由|f(1)|≥|g(1)|得n=1,當(dāng)x>1時,f(x)>0,g(x)>0;當(dāng)0<x<1時,f(x)<0,g(x)<0;
令k(x)=f(x)-g(x),則問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x>1時,k(x)≥0恒成立,當(dāng)0<x<1時,k(x)≤0恒成立;
解答 解:(I)函數(shù)y=f(x)在x=1處的切線方程為y=x-1,
由g(1)=0得n=-1,由g'(1)=1得m=2;
(II)y'=f'(x)-g'(x)=$\frac{{x}^{2}+[2-m(1-n)]x+1}{x(x+1)^{2}}$,
因?yàn)閥=f(x)-g(x)在定義域內(nèi)不單調(diào),所以
h(x)=x2+[2-m(1-n)]x+1 在(0,+∞)內(nèi)有至少一個實(shí)根且曲線與x不相切.
因?yàn)閔(0)=1>0,于是[2-m(1-n)]2-4>0;
∴m(1-n)>4或m(1-n)<0;
由m(1-n)>4知m+(1-n)≥2$\sqrt{m(1-n)}$>$2\sqrt{4}$,所以m-n>3;
(III)當(dāng)x=1時,由|f(1)|≥|g(1)|得n=1,當(dāng)x>1時,f(x)>0,g(x)>0;
當(dāng)0<x<1時,f(x)<0,g(x)<0;
令k(x)=f(x)-g(x),則問題轉(zhuǎn)化為:
當(dāng)x>1時,k(x)≥0恒成立,當(dāng)0<x<1時,k(x)≤0恒成立;
而k(x)=$\frac{x+2-2m+\frac{1}{x}}{(x+1)^{2}}$,當(dāng)x≥1時,函數(shù)y=x+2-2m+$\frac{1}{x}$是單調(diào)函數(shù),最小值為4-2m,
為使k(x)≥0恒成立,注意到k(1)=0,所以4-2m≥0,即m≤2;
同理,當(dāng)0<x<1時,m≤2;
綜上:m≤2.
點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性以及轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用,屬中等題.
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A. | $\frac{9}{4}π$ | B. | $\frac{9}{2}π$ | C. | 18π | D. | 36π |
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A. | 0.25 | B. | 0.5 | C. | 0.6 | D. | 0.75 |
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