Question

2．設雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{6}$=1的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\sqrt{3}$．
（1）求此雙曲線的漸近線l₁、l₂的方程；
（2）若A、B分別為l₁、l₂上的點，且2|AB|=5|F₁F₂|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析 （1）利用離心率為$\sqrt{3}$，結合c²=a²+6，可求a，c的值，從而可求雙曲線方程，即可求得漸近線方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據(jù)A、B分別為l₁、l₂上的點，化簡可得軌跡方程及對應的曲線．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{3}$，∴c²=3a²，∵c²=a²+6，∴a=$\sqrt{3}$，c=3．
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=$\frac{5}{2}$|F₁F₂|=$\frac{5}{2}$×2c=15，∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=225，
∵y₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁-x₂），y₁-y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+x₂），
∴2×（2y）²+$\frac{1}{2}$×（2x）²=225，
∴$\frac{{y}^{2}}{\frac{225}{8}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{225}{2}}$=1，對應的曲線為橢圓．

點評 本題考查軌跡方程的求解，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．