【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足, ,其中,則稱的“衍生數(shù)列”.

(Ⅰ)若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是,求

(Ⅱ)若為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明:的“衍生數(shù)列”是;

(Ⅲ)若為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是的“衍生數(shù)列”是,….依次將數(shù)列,…的第項取出,構(gòu)成數(shù)列 .證明:是等差數(shù)列.

【答案】Ⅰ);(見解析;見解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)定義可以得到關(guān)于的方程組,解這個方程組可得.

我們可以先計算,于是我們猜測,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明這個結(jié)論.最后再去證明的“衍生數(shù)列”就是.我們也可以對 ,進行代數(shù)變形得到,再根據(jù)得到數(shù)列的“衍生數(shù)列”.

(Ⅲ)設(shè)數(shù)列中后者是前者的“衍生數(shù)列”,要證是等差數(shù)列,可證成等差數(shù)列,由中的證明可知,,代數(shù)變形后根據(jù)為奇數(shù)可以得到.也可以利用中的代數(shù)變形方法得到,從而得到, 即 成等差數(shù)列,再根據(jù)得到成等差數(shù)列.

(Ⅰ)解:因為,所以,

,所以,

,故,同理有

,因此,,所以.

(Ⅱ)證法一

證明:由已知, ,.

因此,猜想.

當(dāng)時,,猜想成立;

假設(shè)時,.

當(dāng)時,

故當(dāng)時猜想也成立.

由 ①、② 可知,對于任意正整數(shù),有.

設(shè)數(shù)列 的“衍生數(shù)列”為 ,則由以上結(jié)論可知

,其中 .

由于為偶數(shù),所以,

所以,其中.

因此,數(shù)列即是數(shù)列.

證法二:

因為

……

,

由于為偶數(shù),將上述個等式中的第個式子都乘以,相加得

,

由于,,

根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知,數(shù)列的“衍生數(shù)列”.

(Ⅲ)證法一

證明:設(shè)數(shù)列中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列,只需證明成等差數(shù)列,即只要證明 即可.

由(Ⅱ)中結(jié)論可知

所以,,即成等差數(shù)列,

所以是等差數(shù)列.

證法二:

因為,

所以.

所以欲證成等差數(shù)列,只需證明成等差數(shù)列即可.

對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”,

因為 ,

,

……

,

由于為奇數(shù)數(shù),將上述個等式中的第個式子都乘以,相加得

,

設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為

因為,

所以, 即 成等差數(shù)列.

同理可證,也成等差數(shù)列.

是等差數(shù)列.所以成等差數(shù)列.

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(Ⅱ)若為偶數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,證明:的“衍生數(shù)列”是;

(Ⅲ)若為奇數(shù),且的“衍生數(shù)列”是,的“衍生數(shù)列”是,….依次將數(shù)列,,…的第項取出,構(gòu)成數(shù)列 .證明:是等差數(shù)列.

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