Question

等差數(shù)列{a_n}與等比數(shù)列{b_n}（n∈N^*）滿足：a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₄=b₄+1．
（1）求它們的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且有a_n＞0，數(shù)列{c_n}滿足c_n=λ•b_n+1-S_n，λ是不為0的常數(shù)．證明：λ＞2是數(shù)列{c_n+1-c_n}是遞增數(shù)列的充要條件．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用待定系數(shù)法，求出d=q=±

3

，即可求等差數(shù)列{a_n}與等比數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）c_n+1-c_n=λ（b_n+2-b_n+1）-a_n+1=（

3

-1）λ•(

3

)n-1-

3

n＞0，可得λ＞

1+ 3 n

( 3 -1)•( 3 )n

，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：設公差為d，公比為q，則，
∵a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₄=b₄+1，
∴1+d=q+1，1+3d=q³+1，
∴d=q=±

3

，
∴a_n=1±

3

（n-1），b_n=(±

3

)n-1；
（2）證明：由（1）知a_n=1+

3

（n-1），b_n=(

3

)n-1
∵c_n=λ•b_n+1-S_n，
∴c_n+1-c_n=λ（b_n+2-b_n+1）-a_n+1=（

3

-1）λ•(

3

)n-1-

3

n＞0
∴λ＞

1+ 3 n

( 3 -1)•( 3 )n

，
∵n∈N^*，∴

1+ 3 n

( 3 -1)•( 3 )n

≤2，
∴λ＞2，即λ＞2是數(shù)列{c_n+1-c_n}是遞增數(shù)列的充要條件．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查充要條件的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．