Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)(0，-

1

3

)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓必過y軸上的一定點(diǎn)M，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）根據(jù)短軸長為2，右焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，求出橢圓方程中b、c的值，再求出a的值即可；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)，利用直線與橢圓方程聯(lián)立，求出

MA

•

MB

的表達(dá)式，令

MA

•

MB

=0，求出m的值，即得結(jié)論．

解答： 解：（I）根據(jù)題意，得；
2b=2，即b=1，
又∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
即F（1，0），
∴c=1，∴a²=2，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)(0，-

1

3

)且斜率為k的直線l的方程為y=kx-

1

3

，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，m）；
則由

x2 2 +y2=1 y=kx- 1 3

，得x²+2(kx-

1

3

)2-2=0，
整理，得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
顯然△＞0，且x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=

-16

9(2k2+1)

；
∴y₁+y₂=（kx₁-

1

3

）+（kx₂-

1

3

）=k（x₁+x₂）-

2

3

=

4k2

3(2k2+1)

-

2

3

=

-2

3(2k2+1)

；
y₁y₂=（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）=k²x₁x₂-

k

3

（x₁+x₂）+

1

9

=k²•

-16

9(2k2+1)

-

k

3

•

4k

3(2k2+1)

+

1

9

=

-18k2+1

9(2k2+1)

；
∵

MA

=（x₁，y₁-m），

MB

=（x₂，y₂-m），
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=

-16

9(2k2+1)

-18k2+1

9(2k2+1)

-m•

-2

3(2k2+1)

+m²
=

-16-18k2+1+6m+9m2(2k2+1)

9(2k2+1)

=

18(m2-1)k2+9m2+6m-15

9(2k2+1)

；
令

MA

•

MB

=0，
得18（m²-1）k²+9m²+6m-15=0，
又∵k∈R，∴

m2-1=0 9m2+6m-15=0

；
解得m=1；
∴當(dāng)m=1時(shí)，恒有

MA

•

MB

=0；
∴以AB為直徑的圓必過y軸上的一定點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評：本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問題，也考查了向量與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題以及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，是難題．