【題目】設(shè)是圓上的一動點(diǎn),點(diǎn)在直線上線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)

1)若點(diǎn)的軌跡為橢圓,則求的取值范圍;

2)設(shè)時(shí)對應(yīng)的橢圓為,為橢圓的右頂點(diǎn),直線交于兩點(diǎn),若,求面積的最大值.

【答案】12

【解析】

1)由已知可得點(diǎn)的垂直平分線上,有,進(jìn)而,根據(jù)點(diǎn)的軌跡為橢圓,由橢圓定義可得,即在圓外,得出不等量關(guān)系,結(jié)合關(guān)系,即可求解;

(2)根據(jù)(1)求出橢圓方程,設(shè)出直線,以及,,根據(jù)直線與橢圓相交關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理,求出的值,轉(zhuǎn)坐標(biāo)關(guān)系,可得出直線過定點(diǎn),得到,再利用韋達(dá)定理,求出關(guān)于的目標(biāo)函數(shù),結(jié)合的范圍,利用換元法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值,即可求解.

解:(1)若的軌跡為橢圓,則必在圓內(nèi),

此時(shí)的垂直平分線交線段于點(diǎn),

,

在直線上,∴,

,則

2)當(dāng)時(shí),,此時(shí),

的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓,其中,,

∴橢圓的方程為

為右頂點(diǎn),∴,設(shè),,

,∵,∴,

,①

,在直線上,

∴①式變?yōu)?/span>,②

聯(lián)立直線方程與橢圓方程,

,

,,

代入②式得,∴

當(dāng)時(shí),、重合,

、為非零向量矛盾,舍去.

,直線,過定點(diǎn),

此時(shí)

,則,

,∴,

時(shí),有最大值,最大值為

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(ⅱ)以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),試問該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人?

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A.1B.2C.3D.4

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