Question

【題目】已知圓：，橢圓：的離心率為，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于兩點(diǎn)，，當(dāng)恰好位于軸上時(shí)，的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值且定值為，詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖形特點(diǎn)求解出與的長(zhǎng)，再結(jié)合橢圓的離心率特點(diǎn)代換出關(guān)于的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)過點(diǎn)的圓的切線斜率為0或不存在時(shí)，，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，采用解析幾何方法聯(lián)立切線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，得出關(guān)于兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理，再用弦長(zhǎng)公式表示出，最終將表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可

解：（1）由橢圓的離心率為知得，

∴橢圓的方程為.

由圓的切線性質(zhì)、圓的對(duì)稱性及的面積為得：，

又，∴，

設(shè)，則，，將其代入橢圓方程得，，

∴橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)過點(diǎn)的圓的切線斜率為0或不存在時(shí)，，

②當(dāng)過點(diǎn)的圓的切線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線的方程為，

，，∴，即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得：，即，

則，

設(shè)，則

,

由，解得，

∴

，

綜上所述，為定值且定值為.