已知函數(shù)f(x)=lnx-
ax
x+1

(1)若函數(shù)f(x)有極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當f(x)有兩個極值點(記為x1和x2)時,求證f(x1)+f(x2)≥
x+1
x
•[f(x)-x+1].
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)由已知得x>0,且有f(x)=
1
x
-
a
(x+1)2
=
x2+(2-a)x+1
x(x+1)2
,由此利用導數(shù)性質能求出當函數(shù)f(x)存在極值時,實數(shù)a的取值范圍是a>4.
(Ⅱ)x1,x2是x2+(2-a)x+1=0的兩個解,從而x1x2=1,欲證原不等式成立,只需證明f(x)-lnx≥f(x)-x+1成立,即證lnx-x+1≤0成立,由此利用構造法和導數(shù)性質能證明f(x1)+f(x2)≥
x+1
x
•[f(x)-x+1].
解答: (Ⅰ)解:由已知得x>0,且有f(x)=
1
x
-
a
(x+1)2
=
x2+(2-a)x+1
x(x+1)2
,
在方程x2+(2-a)x+1=0中,△=a2-4a.
①當△≤0,即0≤a≤4時,f′(x)≥0恒成立,此時f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
∴函數(shù)f(x)無極值;
 ②當△>0,即a>4時,方程x2+(2-a)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根:
x1=
(a-2)-
a2-4a
2
x2=
(a-2)+
a2+4a
2
,
且∵(a-2)2≥a2-4a,∴0<x1<x2
∵當x∈(0,x1)或x∈(x2,+∞)時,f′(x)>0;
當x∈(x1,x2)時,f′(x)<0,
∴f(x)在(
(a-2)-
a2-4a
2
(a-2)+
a2+4a
2
)上單調遞減,
在(0,
(a-2)-
a2-4a
2
)和(
(a-2)+
a2-4a
2
,+∞
)上單調遞增,
∴f(x)存在極值.
綜上所述:當函數(shù)f(x)存在極值時,實數(shù)a的取值范圍是a>4.
(Ⅱ)證明:∵x1,x2是f(x)的兩個極值點,故滿足方程f′(x)=0,
即x1,x2是x2+(2-a)x+1=0的兩個解,∴x1x2=1,
∵f(x1)+f(x2)=lnx1-
ax1
x1+1
+lnx2-
ax2
x2+1
=ln(x1x2)-
a(2x1x2+x1+x2)
x1x2+x1+x2+1
=-a
,
在f(x)=lnx-
ax
x+1
中,-a=
x+1
x
[f(x)-lnx]
,
欲證原不等式成立,只需證明f(x)-lnx≥f(x)-x+1成立,
即證lnx-x+1≤0成立,
令g(x)=lnx-x+1,則g(x)=
1
x
-1=
1-x
x

當x∈(0,1)時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上單調遞減,
∴g(x)max=g(1)=0,∴g(x)≤0,即lnx-x-1≤0成立,
∴f(x1)+f(x2)≥
x+1
x
•[f(x)-x+1].
點評:本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等基礎知識,同時考查推理論證能力,分類討論等綜合解題能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義域為D的函數(shù)f(x),其導函數(shù)為f′(x),若對?x∈D,均有f(x)<f′(x),則稱函數(shù)f(x)為D上的夢想函數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,試判斷f(x)是否為其定義域上的夢想函數(shù),并說明理由;
(2)若函數(shù)g(x)=ax+a-1(a∈R,x∈(0,π))為其定義域上的夢想函數(shù),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
3
x3-
1
2
(a+1)x2+x-
1
3
,a∈R,
(1)若a<0,求函數(shù)f(x)極值;
(2)是否存在實數(shù)a使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上有兩個零點?若存在,求出a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某食品企業(yè)一個月內別消費者投訴的次數(shù)用ξ表示,據(jù)統(tǒng)計,隨機變量ξ的概率分布如下:
ξ0123
p0.10.32aa
(1)求a的值;
(2)求ξ的數(shù)學期望和方差;
(3)假設一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內共被消費者投訴2次的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

將函數(shù)y=sinx圖象上的所有點向左平移
π
6
個單位長度,得到曲線C1,再把曲線C1上所有點的橫坐標縮短為原來的
1
2
(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象.
(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)=g(x)-cos2x-1,求f(x)的最小正周期;
(3)在(2)的條件下,若函數(shù)y=f(x)-k在[0,π)內恰有兩個零點,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱ABC=A1B1C1中,∠ACB=90°,E,F(xiàn),D分別是AA1,AC,BB1的中點,且CD⊥C1D.
(Ⅰ)求證:CD∥平面BEF;
(Ⅱ)求證:平面BEF⊥平面A1C1D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(0,3),(1,0),(-2,3),g(x)=logaf(x),其中a>0且a≠1.
(1)求g(x)的解析式及其定義域;
(2)當-2≤x≤0時,g(x)max=2,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,Rt△BMC中,斜邊BM=5,它在平面ABC上的射影AB長為4,∠MBC=60°,
求:(1)BC⊥平面MAC;
(2)MC與平面CAB所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在正四棱錐P-ABCD中,已知A1,C1分別為PA,PC中點,則
V三棱椎A1-BC1D
V正四棱椎P-ABCD
=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案