Question

(08年泉州一中適應(yīng)性練習(xí)理)（14分）

數(shù)列中，， (為常數(shù)，) ，且

（1）求的值；

（2）① 證明：；

② 猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（3）比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）依題意，

由，得，

解得，或（舍去）.                                                

（Ⅱ）解：

① 證明：因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422154058006.gif' width=267>，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422154058009.gif' width=36>，所以，即  () .               

      ② 數(shù)列有極限，          且 .                                                 

（Ⅲ）解：

由，可得，

從而.

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422154058009.gif' width=36>，所以

所以

 

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422154058009.gif' width=36>，由（Ⅱ）① 得   ().      

下面證明：對(duì)于任意，有成立.

當(dāng)時(shí)，由，顯然結(jié)論成立.

假設(shè)結(jié)論對(duì)時(shí)成立，即

因?yàn)?IMG height=39 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422154058027.gif' width=212>，且函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，

所以.

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.       于是，當(dāng)時(shí)，有成立.        

根據(jù)得 .                                             由 及， 經(jīng)計(jì)算可得

所以，當(dāng)時(shí)， ；      當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由，  得.              ……