Question

【題目】已知直線(xiàn)l：與拋物線(xiàn)C：相切．

（1）求拋物線(xiàn)方程；

（2）斜率不為0的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)A，B，拋物線(xiàn)C上是否存在兩點(diǎn)D，E關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．若存在求出斜率k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)方程，利用判別式為零列方程，解方程求得，由此求得拋物線(xiàn)方程.

（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系以及判別式，由此求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程，化簡(jiǎn)后判斷出符合題意的不存在.

由題聯(lián)立方程組．

因?yàn)橹本�(xiàn)l與拋物C相切，所以，舍，

所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為．

由可知，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為．

假設(shè)拋物線(xiàn)C上存在兩點(diǎn)D，E關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

可設(shè)直線(xiàn)DE的方程為，

聯(lián)立方程組．

由，得，

設(shè)，，DE中點(diǎn)為，

則，，

因?yàn)?/span>在直線(xiàn)上，所以將其代入方程，

得，即，

代入，得，

所以k無(wú)解，故不存在．

即拋物線(xiàn)C上不存在兩點(diǎn)D，E關(guān)于過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．