Question

己知函數(shù)f（x）=（x≠-1）的反函數(shù)是f^-1（x
），設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有{a_n}=成立，且b_n=f^-1（a_n）
（I）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項公式
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項是否存在使得R_n≥4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k：若不存在，請說明理由_：
（III）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n都有T_n＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，f^-1（x）=，
于是由a_n=得，a_n=5S_n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=5s₁+1∴a₁=-
又∵a_n=5s_n+1a_n+1=5a_n+1+1∴a_n+1-a_n=5a_n+1=-
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=-，公比為q=-的等比數(shù)列，∴a_n=，
b_n=（n∈N^*）　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．
證明：由（I）知b_n==4+
∵b_2k-1+b_2k=8++=8+-=8-＜8
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m+4n
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m-1（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1=8m-4=4n
∴對于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k∴不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．　
（Ⅲ）∵c_n=b_2n-b_2n-1=-=+=（n∈N），
又 ，∴，當(dāng)n=1時，，
當(dāng)n≥2時，


分析：（I）先根據(jù)題意求出a_n與S_n的關(guān)系，然后利用遞推關(guān)系進行化簡變形得到數(shù)列{a_n}是首項為a₁=-，公比為q=-的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m（m∈N^*），R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m+4n，當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m-1（m∈N^*），則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1=8m-4=4n，從而對于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k則不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立；
（III）根據(jù)b_n的通項公式，計算出c_n的通項公式，再比較T_n與 的大�。�
點評：本題是一個綜合性很強的題目，主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用以及反函數(shù)和數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題，同時考查了計算能力，分析解決問題的能力．