已知函數(shù)
(1)證明f(x)為奇函數(shù);
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用定義加以證明;
(3)求f(x)的值域.
【答案】分析:(1)根據(jù)已知中函數(shù)的解析式,可得函數(shù)的定義域為R關(guān)于原點對稱,分析f(x)與f(-x)的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義,可判斷出f(x)的奇偶性;
(2)在R中任取x1<x2,利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析f(x1)與f(x2)的大小,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的定義,可判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)利用分離常數(shù)法,將函數(shù)的解析式化為的形式,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用分析法,可得到函數(shù)f(x)的值域.
解答:證明:(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱
∵f(-x)===-f(x)
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,理由如下:
在R中任取x1<x2
-<0,+1>0,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)=-=(1-)-(1-)=<0
∴f(x1)<f(x2
∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增
(3)∵=
∵3x>0,
∴3x+1>1,
∴0<<2
∴-2<-<0
∴-1<1-<1
故f(x)的值域為(-1,1)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,是函數(shù)圖象和性質(zhì)是簡單綜合應(yīng)用,難度中檔發(fā).
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