Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線(xiàn)交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，求的面積．

（Ⅲ）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得經(jīng)， 為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)由短軸長(zhǎng)為得，由兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)得，由此求出，即可求出橢圓方程；(2)先寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，從而求出，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)到到直線(xiàn)的距離即可求三角形的面積；(3) 設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理計(jì)算，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，

根據(jù)題意得所以，

所以橢圓方程為；

（2）根據(jù)題意得直線(xiàn)方程為，

解方程組得坐標(biāo)為， 計(jì)算，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為， 所以，；

（3）假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本�(xiàn)與軸不垂直，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為．

坐標(biāo)為，

由得，，

，

計(jì)算得：，其中，

由于以為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以，

計(jì)算得， 即，， 所以.

（可以設(shè)點(diǎn)，也可以設(shè)直線(xiàn)得到和的函數(shù)關(guān)系式）