Question

15．已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c，（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），則${cos^2}\frac{α-β}{2}$=（　　）

• A． $\frac{c^2}{{{a^2}+{b^2}}}$
• B． $\frac{a^2}{{{c^2}+{b^2}}}$
• C． $\frac{b^2}{{{a^2}+{c^2}}}$
• D． $\frac{a}{{{c^2}+{b^2}}}$

Answer 1

分析 此題把點(diǎn)A（cosα，sinα）與點(diǎn)B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x²+y²=1的兩個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用進(jìn)行解答．

解答 解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cosα，sinα）與點(diǎn)B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x²+y²=1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖．
從而：|AB|²=（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=2-2cos（α-β）=
又∵單位圓的圓心到直線l的距離d=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
由平面幾何知識(shí)知|OA|²-（$\frac{1}{2}$|AB|）²=d²，即1-$\frac{2-2cos（α-β）}{4}$=d²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$
∴${cos^2}\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{2}$[1+cos（α-β）]=$\frac{c^2}{{{a^2}+{b^2}}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．解題時(shí)，利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．