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14.已知函數f(x)=$\sqrt{2}$(sin2ωxcos$\frac{π}{4}$+cos2ωx•sin$\frac{π}{4}$)(ω>0),且f(x)的最小正周期為π.
(1)求函數f(x)的單調增區(qū)間;
(2)若f($\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$)=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,f($\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$)=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,且α、β∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),求cos(α+β)的值.

分析 (1)由f(x)=$\sqrt{2}$sin(2ωx+$\frac{π}{4}$),ω>0,f(x)的最小正周期為π,得到f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$),由此能示出函數f(x)的單調增區(qū)間;
(2)先求出sin$α=\frac{1}{3}$,sinβ=$\frac{2}{3}$,cos$α=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$,由此能求出cos(α+β).

解答 解:(1)∵f(x)=$\sqrt{2}$(sin2ωxcos$\frac{π}{4}$+cos2ωx•sin$\frac{π}{4}$)
=$\sqrt{2}$sin(2ωx+$\frac{π}{4}$),
ω>0,f(x)的最小正周期為π,
∴ω=1,∴f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$),
由-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$,k∈Z,
解得-$\frac{3}{8}π+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$,k∈Z,
∴函數f(x)的單調增區(qū)間是[-$\frac{3}{8}π+kπ$,$\frac{π}{8}+kπ$],k∈Z.
(2)∵f(x)=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$,
且f($\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$)=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,f($\frac{β}{2}$-$\frac{π}{8}$)=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴sin$α=\frac{1}{3}$,sinβ=$\frac{2}{3}$,
∵α、β∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),
∴cos$α=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$.

點評 本題考查三角函數值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意三角函數性質的合理運用.

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