Question

已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意的都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

試題分析：（1）當時，，求出導函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率，又，進而得出切線方程；
（2）易得函數(shù)的定義域為，對函數(shù)進行求導得，令并在定義域范圍內(nèi)解之，即，再對其分和進行分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間在定義域內(nèi)的補集即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
由題意得：對任意，使得恒成立，只需在區(qū)間內(nèi)，，對進行分類討論，從而求出的取值范圍.
(1)時, 
                          
曲線在點處的切線方程       
(2) 
①當時, 恒成立,函數(shù)的遞增區(qū)間為 
②當時,令,解得或（舍去）

x	( 0,)
f’(x)	-		+
f(x)	減		增

 
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為     
(3)由題意知對任意的,,則只需對任意的, 
①當時,在上是增函數(shù),所以只需 ，而 ，所以滿足題意;
②當時,,在上是增函數(shù), 所以只需 
而， 所以滿足題意; 
③當時,,在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以只需即可 ，而 ，從而不滿足題意;
綜合①②③實數(shù)的取值范圍為.