Question

8．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1），與直線x+y-1=0相切，且圓心在直線y=-2x上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 根據(jù)圓心在直線y=-2x上，設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程得到一個(gè)關(guān)系式，由點(diǎn)到直線的距離公式表示圓心到直線x+y=1的距離，讓距離等于圓的半徑列出另一個(gè)關(guān)系式，兩者聯(lián)立即可求出圓心坐標(biāo)和半徑，把圓心坐標(biāo)和半徑代入即可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：因?yàn)閳A心在直線y=-2x上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，-2a）（1分）
設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y+2a）²=r²（2分）
圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1）和直線x+y=1相切，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+（2a-1）^{2}={r}^{2}}\\{\frac{|a-2a-1|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$（8分）
解得r=$\sqrt{2}$，a=1或r=$\frac{5\sqrt{2}}{9}$，a=$\frac{1}{9}$（12分）
所以圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2或（x-$\frac{1}{9}$）²+（y+$\frac{2}{9}$）²=$\frac{50}{81}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，掌握直線與圓相切時(shí)滿足的條件，會(huì)利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．