關(guān)于函數(shù),給出下列命題:
①若函數(shù)f(x)是R上周期為3的偶函數(shù),且滿足f(1)=1,則f(2)-f(-4)=0;
②若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)f(x)=2 013,則f(x)是周期函數(shù);
③若函數(shù)g(x)=
x-1,x>0
f(x),x<0
是偶函數(shù),則f(x)=x+1;
④函數(shù)y=
log
1
3
|2x-3|
的定義域?yàn)椋?span id="ycccee0" class="MathJye">
3
2
,+∞).
其中正確的命題是
 
.(寫出所有正確命題的序號)
分析:①利用函數(shù)的周期性和奇偶性求值判斷.②利用周期函數(shù)的定義證明.③利用偶函數(shù)的定義推導(dǎo).④利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定義域.
解答:解:①因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上周期為3的偶函數(shù),所以f(2)-f(-4)=f(2-3)-f(-4+3)=f(-1)-f(1)=f(1)-f(1)=0,所以①正確.
②由f(x+1)f(x)=2 013,得f(x)≠0,所以f(x+1)f(x)=f(x+1)f(x+2)=2 013,即f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以②正確.
③當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以g(-x)=-x-1,因?yàn)間(x)是偶函數(shù),所以g(-x)=-x-1=g(x)=f(x),即x<0時(shí),f(x)=-x-1,所以③錯(cuò)誤.
④要使函數(shù)有意義,則有log
1
3
|2x-3|≥0
,即0<|2x-3|≤1,所以0<2x-3≤1或-1≤2x-3<0,解得
3
2
<x≤2或1≤x<
3
2
,所以④錯(cuò)誤.
故答案為:①②.
點(diǎn)評:本題考查的函數(shù)的基本性質(zhì),對應(yīng)函數(shù)的奇偶性,周期性和對稱性等性質(zhì)要熟練掌握定義和公式.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+
3
2
)+f(x)=0
,且函數(shù)y=f(x-
3
4
)
為奇函數(shù),給出下列命題:
(1)函數(shù)f(x)的周期為
3
2
,
(2)函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(-
3
4
,0)
對稱,
(3)函數(shù)f(x)關(guān)于y軸對稱.其中正確的是
(2)(3)
(2)(3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+
3
2
)+f(x)=0
,且函數(shù)y=f(x-
3
4
)
為奇函數(shù),給出下列命題:①函數(shù)f(x)的最小正周期是
3
2
;②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-
3
4
,0)
對稱;③函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.其中真命題的個(gè)數(shù)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•虹口區(qū)一模)定義在R上的函數(shù)f(x+2)+f(x)=0,且y=f(x-1)是奇函數(shù),給出下列命題:①函數(shù)y=f(x)的最小正周期是2;②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱;③函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.其中真命題是
②③
②③
(填入命題的編號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年安徽“江淮十校”協(xié)作體高三上學(xué)期第一次聯(lián)考文數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:填空題

關(guān)于函數(shù),給出下列命題:

的最小正周期為;

在區(qū)間上為增函數(shù);

③直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸;

④對任意,恒有.

其中正確命題的序號是____________.

 

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