6.設f(x)<0是定義在R上的奇函數(shù),且f(2)<0,當x>0時,有$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$<0恒成立,則不等式x2f(x)>0的解集是(  )
A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)

分析 構造函數(shù),通過$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$<0化為[$\frac{f(x)}{x}$]′<0;然后利用導函數(shù)的正負性,可判斷函數(shù)y=$\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;再由f(2)=0,易得f(x)在(0,+∞)內(nèi)的正負性;最后結合奇函數(shù)的圖象特征,可得f(x)在(-∞,0)內(nèi)的正負性.則x2f(x)>0?f(x)>0的解集即可求得.

解答 解:因為當x>0時,有$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$<0恒成立,即[$\frac{f(x)}{x}$]′<0恒成立,
所以$\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
因為f(2)=0,
所以在(0,2)內(nèi)恒有f(x)>0;在(2,+∞)內(nèi)恒有f(x)<0.
又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以在(-∞,-2)內(nèi)恒有f(x)>0;在(-2,0)內(nèi)恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集:(-∞,-2)∪(0,2).
故選:D.

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應用.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時,?衫脤Ш瘮(shù)來判斷.屬于中檔題.

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