Question

14．如圖所示，銳角三角形ABC的內(nèi)心為I，過(guò)點(diǎn)A作直線BI的垂線，垂足為H，點(diǎn)E為圓I與邊CA的切點(diǎn)．
（1）求證A，I，H，E四點(diǎn)共圓；
（2）若∠C=50°，求∠IEH的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由于⊙I切AC于點(diǎn)E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四點(diǎn)共圓；
（2）在此圓中∠IEH與∠IAH對(duì)同弧．再利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得出．

解答 （1）證明：由圓I與AC相切于點(diǎn)E得IE⊥AC，結(jié)合HI⊥AH，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A，I，H，E四點(diǎn)共圓．
（2）解：由（1）知A，I，H，E四點(diǎn)共圓，在此圓中∠IEH與∠IAH對(duì)同弧，
∴∠IEH=∠HAI．
∵銳角△ABC的內(nèi)心為I，
∴AI、BI分別是∠BAC、∠ABC的平分線，
可得∠HIA=∠ABI+∠BAI=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
結(jié)合IH⊥AH，得∠HAI=90°-∠HIA=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠C）=$\frac{1}{2}$∠C，所以∠IEH=$\frac{1}{2}$∠C．
由∠C=50°得∠IEH=25°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)、弦切角定理、三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．