Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB傾斜角分別為α，β，則

cos(α-β)

cos(α+β)

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用斜率公式，表示出tanα

y

x+a

，tanβ=

y

x-a

，利用離心率化簡(jiǎn)橢圓方程，再根據(jù)和差的余弦公式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：由題意，A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x，y），則tanα=

y

x+a

，tanβ=

y

x-a

，
∴tanαtanβ=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

∴a²=

4

3

b²，
∴

x2

4 3 b2

+

y2

b2

=1，
∴y2=b2-

3x2

4

，

y2

x2-a2

=-

3

4

，
tanαtanβ=-

3

4

，
∴

cosαcosβ+sinαdinβ

cosαcosβ-sinαsinβ

=

1+tanαtanβ

1-tanαtanβ

=

1- 3 4

1+ 3 4

=

1

7

．
故答案為：

1

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜率公式的運(yùn)用，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查和差的余弦公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．