Question

19．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，CD的中點．
（Ⅰ）求證：D₁F⊥平面ADE；（Ⅱ）求平面A₁C₁D與平面ADE所成的二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF₁⊥平面ADE．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量和平面A₁C₁D的法向量，利用向量法能求出平面A₁C₁D與平面ADE所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，CD的中點．
∴如圖：以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），
$\overrightarrow{{D_1}F}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DE}$=（2，2，1），
∵$\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{DA}$=0，$\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{DE}$=0，
∴D₁F⊥DA，D₁F⊥DE，
又DA∩DE=D，∴D₁F⊥平面ADE．…（6分）
解：（Ⅱ）由（1）可知平面ADE的法向量$\overrightarrow n=\overrightarrow{{D_1}F}=（0，1，-2）$  …（7分）
設(shè)平面A₁C₁D的法向量為$\vec m=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
則$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{m}=0$，即$\left\{\begin{array}{l}2x+2z=0\\ 2y+2z=0\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=-1，得$\overrightarrow m=（{1，1，-1}）$…（9分）
∴$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=-\frac{{\sqrt{15}}}{5}$   …（11分）
∴平面A₁C₁D與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．