【題目】如圖所示,某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形(其中∠B=,AB=a,BC=a)地塊開發(fā)成公共綠地,設計時,要求綠地部分有公共綠地走道MN,且兩邊是兩個關于走道MN對稱的三角形(△AMN和△A′MN),現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則,要求M點與B點不重合,A′落在邊BC上,設∠AMN=θ.

(1)若θ=時,綠地“最美”,求最美綠地的面積;

(2)為方便小區(qū)居民的行走,設計時要求將AN,A′N的值設計最短,求此時綠地公共走道的長度.

【答案】見解析

【解析】 (1)由∠B=,AB=a,BC=a,

所以∠BAC=.

設MA=MA′=xa(0<x<1),則MB=a-xa,

所以在Rt△MBA′中,cos(π-2θ)=,

所以x=.

由于△AMN為等邊三角形,

所以綠地的面積

S=2××a×sina2.

(2)因為在Rt△ABC中,∠B=,AB=a,BC=a,

所以∠BAC=,所以在△AMN中,∠ANM=-θ,

由正弦定理得,

設AM=ax(0<x<1),則A′M=ax,BM=a-ax,

所以在Rt△MBA′中,cos(π-2θ)=,

所以x=,即AM=,

所以AN=.

2sinθsin=sin2θ+sinθcosθ

sin2θ-cos2θ=+sin(2θ-),

因為<θ<,所以<2θ-<,

所以當且僅當2θ-,即θ=時,AN的值最小,且AN=a,此時綠地公共走道的長度MN=a.

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82

82

79

95

87


95

75

80

90

85

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其中不正確命題的序號是 _______________ 。ò涯阏J為不正確命題的序號都填上)

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