Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)f (x)＝，其中a∈R．
（1）若a＝1，f (x)的定義域?yàn)椋?，3］，求f (x)的最大值和最小值．
（2）若函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閰^(qū)間（0，＋∞），求a的取值范圍使f (x)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

（1）f (x)_max=，f (x)_min＝－1；（2）a＜－1。

試題分析：f (x)＝＝＝a－，
設(shè)x₁，x₂∈R，則f (x₁)－f (x₂)＝＝．        ……2分
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)0≤x₁＜x₂≤3，則f (x₁)－f (x₂)＝．
又x₁－x₂＜0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0，所以f (x₁)－f (x₂)＜0，
∴f (x₁)＜f (x₂)，                                   ……4分
所以f (x)在［0，3］上是增函數(shù)，所以f (x)_max＝f (3)＝1－＝；
f (x)_min＝f (0)＝1－＝－1．                        ……7分
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0，則x₁－x₂＞0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0
要f (x)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，只要f (x₁)－f (x₂)＜0
而f (x₁)－f (x₂)＝，所以當(dāng)a＋1＜0即a＜－1時(shí)，有f (x₁)－f (x₂)＜0，所以f (x₁)＜f (x₂)，
所以當(dāng)a＜－1時(shí)，f (x)在定義域（0，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù)．       ……12分
點(diǎn)評：對于形如的函數(shù)，我們常采取分離常數(shù)法化為的形式。而的圖像可以有反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過平移伸縮變換得到。