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已知函數f(x)=ln
x+1x-1

(Ⅰ) 求f(x)的反函數f-1(x);
(Ⅱ) 求不等式f(x)>0的解集;
(Ш) 討論f(x)的單調性.
分析:(Ⅰ)由y=ln
x+1
x-1
反解x=
ey+1
ey-1
(y≠0),從而可求得f(x)的反函數f-1(x);
(Ⅱ)f(x)=ln
x+1
x-1
>0?
x+1
x-1
>1(x|x<-1或x>1),解之即可.
(Ш)解法一:設t=
x+1
x-1
,則y=lnt,(x<-1或x>1),利用坐標變換,作出變換的圖象,數形結合即可判斷其單調性;
解法二:利用單調性的定義,設x1,x2是(1,+∞)上的任意兩個實數,且x1<x1,作差f(x1)-f(x2),判斷即可.
解答:解:(Ⅰ) 由y=ln
x+1
x-1
得ey=
x+1
x-1
.…(1分)
xey-ey=x+1,…(2分)
xey-x=ey+1,即(ey-1)x=ey+1,…(3分)
∴x=
ey+1
ey-1
(y≠0).…(4分)
∴f-1(x)=
ex+1
ex-1
(x≠0)…(5分)
(Ⅱ)∵
x+1
x-1
>0,
∴x<-1或x>1.
所以,函數定義域為{x|x<-1或x>1}.…(6分)
根據題意,ln
x+1
x-1
>0,即ln
x+1
x-1
>ln1,…(7分)
x+1
x-1
>1.即
x+1
x-1
-1
>0,也就是
x+1-(x-1)
x-1
=
2
x-1
>0,…(8分)
∴x>1.…(9分)
所以,不等式f(x)>0的解集為{x|x>1}.…(10分)
(Ш)解法一:
設t=
x+1
x-1
,則y=lnt,x<-1或x>1.…(11分)
t=
x+1
x-1
=
x-1+2
x-1
=1+
2
x-1
.…(12分)
t=
2
x
向上平移1個單位得到t=
2
x
+1,再向右平移1個單位得到t=
2
x
,t=1+
2
x-1
…(13分)
當x∈(-∞,-1)時,t是x的減函數,y是t的增函數; …(14分)
當x∈(1,+∞)時,t是x的減函數,y是t的增函數.…(15分)
所以,函數f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上都是減函數.…(16分)
解法二:
設x1,x2是(1,+∞)上的任意兩個實數,且x1<x1,…(11分)
則f(x1)-f(x2)=ln
x1+1
x1-1
-ln
x2+1
x2-1
=ln
(x1+1)(x2-1)
(x1-1)(x2+1)
…(12分)
(x1+1)(x2-1)
(x1-1)(x2+1)
-1=
(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1)
(x1-1)(x2+1)
=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2+1)
…(13分)
∵1<x1<x1,x2,
∴x2-x1>0,x1-1>0,x2+1>0.
(x1+1)(x2-1)
(x1-1)(x2+1)
>1.…(14分)
從而f(x1)-f(x2)=ln
(x1+1)(x2-1)
(x1-1)(x2+1)
>ln1=0.即f(x1)>f(x2).
所以,函數f(x)在(1,+∞)上是減函數.…(15分)
同理,函數f(x)在(-∞,-1)上也是減函數.…(16分)
點評:本題考查反函數,考查函數單調性的判斷與證明,考查解不等式,考查綜合分析與運算能力、邏輯思維能力、創(chuàng)新能力,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數a,b的值:
(2)當a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數k的取值范圍.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數),直線l與函數f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調性;
(2)設f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數,x∈R,a∈R.
(1)當1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數.

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同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹