Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， an是Sn和1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an是Sn和1的等差中項(xiàng)，

∴2an=Sn+1，2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2），

兩式相減得：2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，

又∵2a1=S1+1，即a1=1，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，

∴an=2n﹣1

（2）解：由（1）可知Tn=120+221+322+…+n2n﹣1，

2Tn=121+222+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

兩式相減得：﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n2n

= ﹣n2n

=﹣1﹣（n﹣1）2n，

∴Tn=1+（n﹣1）2n

【解析】（1）通過(guò)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2an=Sn+1，并與2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2）作差，進(jìn)而整理可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過(guò)（1）可知Tn=120+221+322+…+n2n﹣1 ， 進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．