Question

10．已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f′（2）的值，從而求出切線方程即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$      …（1分）
∴切線的斜率是f′（2）=$\frac{1}{2}$，又切點(diǎn)是（2，2-ln2）…（2分）
∴切線的方程是：x-2y+2-2ln2=0             …（4分）
（2）由f（x）=ax-lnx，得f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈（0，e]，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
a=$\frac{4}{e}$（舍去），所以，此時(shí)f（x）無最小值．    …（8分）
②當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$＜e時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增，
f（x）min=f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．       …（9分）
③當(dāng)$\frac{1}{a}$≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍去），所以，此時(shí)f（x）無最小值．            …（10分）
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值3．…（12分）

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．