Question

13．設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi滿足$\frac{z+1}{z+2}$的實部與虛部之比為$\sqrt{3}$，其中i是虛數(shù)單位，x．y∈R，則$\frac{y}{x}$的最大值為$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡$\frac{z+1}{z+2}$=$\frac{{x}^{2}+3x+2+{y}^{2}+yi}{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，根據(jù)$\frac{z+1}{z+2}$的實部與虛部之比為$\sqrt{3}$，可得：$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．設(shè)$\frac{y}{x}$=k，則y=kx，根據(jù)直線與圓相切的充要條件可得：$\frac{|-\frac{3}{2}k-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，化簡解出即可得出．

解答 解：$\frac{z+1}{z+2}$=$\frac{x+yi+1}{x+yi+2}$=$\frac{（x+1+yi）（x+2-yi）}{（x+2+yi）（x+2-yi）}$=$\frac{{x}^{2}+3x+2+{y}^{2}+yi}{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，
∵$\frac{z+1}{z+2}$的實部與虛部之比為$\sqrt{3}$，∴x²+3x+2+y²=$\sqrt{3}$y，
配方為：$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，則y=kx，
則$\frac{|-\frac{3}{2}k-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，化為5k²+6$\sqrt{3}$k-1≤0，
解得：$\frac{-3\sqrt{3}-4\sqrt{2}}{5}$≤k≤$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$，
故答案為：$\frac{-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、圓的方程、直線與圓相切的充要條件、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．